Sumber Belajar

Penyelesaian Model Matematika PLSV dan PtLSV

Uraian

Pada kegiatan belajar sebelumnya kalian sudah dapat memahami penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel. Masih ingatkah kalian, bagaimana penyelesaiannya?

Nah, sekarang kalian akan mempelajari penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV). Apa itu pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV)? Pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV) merupakan kalimat matematika terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yaitu <, >, $\dpi{50} \fn_jvn \leqslant$ dan $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ .

Penyelesaian model PtLSV tidak berbeda dengan penyelesaian persamaan linear satu variabel (PLSV).

Coba kalian perhatikan kasus berikut:

Dari animasi tersebut dapat diketahui harga satu buku ≤ Rp12.500,-, artinya harga buku kurang dari atau sama dengan Rp12.500,- atau maksimum Rp12.500,-.

Jadi harga buku maksimum yang dapat dibeli adalah Rp12.500,-.

Model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan menggunakan lambang-lambang ketidaksamaan yang digunakan untuk menggantikan kata-kata sebagai berikut:

< (kurang dari)
> (lebih dari)
≤ (kurang dari atau sama dengan, tidak lebih dari, maksimum, paling banyak)
≥ (lebih dari atau sama dengan, tidak kurang dari, minimum, paling sedikit)

Untuk selanjutnya dapat disimpulkan langkah-langkah penyelesaian masalah pada kasus tadi adalah sebagai berikut:

Memisalkan suatu ukuran/besaran yang ditanyakan dengan suatu variabel
Buatlah kalimat/model matematika yang sesuai dengan permasalahan
Selesaikan kalimat/model matematika tersebut
Tuliskan kembali jawaban tersebut sesuai dengan yang ditanyakan

Penyelesaian model PtLSV sama dengan penyelesaian PLSV, dapat menggunakan cara substitusi dan membuat pertidaksamaan yang ekuivalen.

Berikut ini silahkan kalian simak contoh penyelesaian model matematika yang berkaitan dengan PtLSV.

Contoh penyelesaian model PtLSV dengan cara substitusi:

Suatu bilangan dikurangi dengan 1, lalu dikalikan dengan 3 hasilnya tidak kurang dari 6.

Jika pengganti bilangan itu diambil dari { 1, 2, 3, 4, 5 }, berapakah bilangan itu?

Jawab:

Misalkan suatu bilangan dimisalkan dengan x

Model matematikanya adalah 3(x - 1) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

Penyelesaiannya:

x = 1 $\dpi{100} \fn_jvn \rightarrow$ 3(x - 1) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

3(1 - 1) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

3( 0 ) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

0 $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6 (salah)

x = 2 $\dpi{100} \fn_jvn \rightarrow$ 3(x - 1) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

3(2 - 1) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

3( 1 ) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

3 $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6 (salah)

x = 3 $\dpi{100} \fn_jvn \rightarrow$ 3(x - 1) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

3(3 - 1) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

3( 2 ) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

6 $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6 (benar)

x = 4 $\dpi{100} \fn_jvn \rightarrow$ 3(x - 1) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

3(4 - 1) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

3( 3 ) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

9 $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6 (benar)

x = 5 $\dpi{100} \fn_jvn \rightarrow$ 3(x - 1) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

3(5 - 1) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

3( 4 ) $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6

12 $\dpi{50} \fn_jvn \geqslant$ 6 (benar)

Pengganti x sehingga model matematikanya bernilai benar adalah 3, 4, dan 5.

Jadi bilangan tersebut adalah 3, 4 dan 5.

Contoh penyelesaian model PtLSV dengan cara membuat pertidaksamaan yang ekuivalen:

Pak Ali membeli 6 potong kemeja yang sejenis. Pak Ali hanya membawa uang sejumlah Rp110.000,-. Tentukan harga tertinggi per potong kemeja yang dapat diperoleh Pak Ali, sehingga beliau masih mendapat uang kembalian sebesar Rp2.000,-.

Jawab:

Misalkan : Harga 1 potong kemeja = k

Model matematika : 6k ≤ 110.000 – 2.000

Penyelesaiannya :

6 k $\dpi{50} \fn_jvn \leqslant$ 110.000 - 2.000 $\Leftrightarrow$ 6k $\dpi{50} \fn_jvn \leqslant$ 108.000

$\Leftrightarrow$ k $\dpi{50} \fn_jvn \leqslant$ $\dpi{50} \fn_jvn \frac{108.000}{6}$

$\Leftrightarrow$ k $\dpi{50} \fn_jvn \leqslant$ 18.000

Jadi harga tertinggi 1 potong kemeja yang dapat dibeli adalah Rp18.000,-

Membuat pertidaksamaan yang ekuivalen dapat dilakukan dengan cara:

Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama

Contoh:

1. x + 5 > 10 $\dpi{80} \Leftrightarrow$ x + 5 - 5 > 10 - 5 (kedua ruas dikurangi 5)

$\dpi{80} \Leftrightarrow$ x > 5

2. x - 15 < 8 $\dpi{80} \Leftrightarrow$ x - 15 + 15 < 8 + 15 (kedua ruas ditambah 15)

$\dpi{80} \Leftrightarrow$ x < 23

Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama

Contoh:

1. 3x $\dpi{80} \leqslant$ 21 $\dpi{80} \Leftrightarrow$ 3x : 3 $\dpi{80} \leqslant$ 21 : 3 (kedua ruas dibagi dengan 3)

$\dpi{80} \Leftrightarrow$ x $\dpi{80} \leqslant$ 7

2. $\dpi{80} \frac{1}{3}$ y $\dpi{80} \geqslant$ 12 $\dpi{80} \Leftrightarrow$ $\dpi{80} \frac{1}{3}$ y x 3 $\dpi{80} \geqslant$ 12 x 3 (kedua ruas dikalikan dengan 3)

$\dpi{80} \Leftrightarrow$ y $\dpi{80} \geqslant$ 36

Yang perlu kalian perhatikan jika mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, maka ada ketentuan yang harus diingat, yaitu tanda ketidaksamaan akan terbalik.

“<” menjadi “>” dan sebaliknya

“≤” menjadi “≥” dan sebaliknya.

Contoh :

-4x $\dpi{80} \leqslant$ 20 $\dpi{80} \Leftrightarrow$ -4x : (-4) $\dpi{80} \leqslant$ 20 : (-4) (kedua ruas dibagi dengan - 4)

$\dpi{80} \Leftrightarrow$ x $\dpi{80} >$ -5